行列に関する基本的な演算

　経済学において、産業連関表や計量経済学などで登場してくる行列について、基本的な演算公式をまとめてみました。
　なお、以下では、太字は行列を表しています。

　　$(\textbf{A} + \textbf{B}) + \textbf{C} = \textbf{A} + (\textbf{B} + \textbf{C})$

　　$\textbf{A} + \textbf{B} = \textbf{B} + \textbf{A}$

　　$\textbf{A} + \textbf{O} = \textbf{A}$　（なお、$\textbf{O}$は零行列）

　　$\textbf{A} \; – \; \textbf{A} = \textbf{O}$

　　$(a+b)\textbf{A} = a \textbf{A} + b \textbf{A}$

　　$a(\textbf{A} + \textbf{B}) = a \textbf{A} + a \textbf{B}$

　　$(\textbf{A} \textbf{B}) \textbf{C} = \textbf{A}(\textbf{B} \textbf{C})$

　　$\textbf{A} (\textbf{B} + \textbf{C}) = \textbf{A}\textbf{B} + \textbf{A} \textbf{C}$

　　$(\textbf{A} + \textbf{B}) \textbf{C}) = \textbf{A}\textbf{C} + \textbf{B} \textbf{C}$

　$\textbf{A}$の転置行列を$\textbf{A}’$とします。

　　$(\textbf{A}’)’ = \textbf{A}$

　　$(\textbf{A} + \textbf{B})’ = \textbf{A}’ + \textbf{B}’$

　　$(a\textbf{A})’ = a\textbf{A}’$

　　$(\textbf{A} \textbf{B})’ = \textbf{B}’ \textbf{A}’$

　$\textbf{A}$の逆行列を$\textbf{A}^{-1}$とします。

　　$(\textbf{A}^{-1})^{-1} = \textbf{A}$

　　$(\textbf{A}\textbf{B})^{-1} = \textbf{B}^{-1} \textbf{A}^{-1}$

　　$(\textbf{A}’)^{-1} = (\textbf{A}^{-1})’$

　　$(a\textbf{A})^{-1} = a^{-1} \textbf{A}^{-1}$

　　$\textbf{A}\textbf{B} = \textbf{I}$ならば、$\textbf{B} = \textbf{A}^{-1}$　（なお、$\textbf{I}$は単位行列）