予算制約下の効用最大化(数式モデル)

ミクロ経済学において、予算制約下の効用最大化は消費者行動の基本です。この予算制約下の効用最大化について、中級者向けにn財に拡張し、数式をまじえて、説明します。

モデル

 ある消費者が、n種類のx_i財を、予算Eのもと、消費するとしましょう。
 効用関数をu、各財の価格をp_iとすると、次式を最適化することになります。

  \max \quad u(x_1,x_2,\cdots,x_n)
  s.t  \quad x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = E

 このとき、次のようにラグランジュ関数Lを定義し、

  L = u(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \lambda ( E - x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n )

一階の条件を求めると、n+1個の式が得られます。

  \dfrac{\partial L}{\partial x_1} = \dfrac{\partial u}{\partial x_1} - \lambda p_1 = 0

  \dfrac{\partial L}{\partial x_2} = \dfrac{\partial u}{\partial x_2} - \lambda p_2 = 0

    \vdots

  \dfrac{\partial L}{\partial x_n} = \dfrac{\partial u}{\partial x_n} - \lambda p_n = 0

  \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = E - x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n  = 0

 これらの式から、\lambdaをキャンセルすると、

  \dfrac{\partial u_i}{\partial u_j} = \dfrac{p_i}{p_j}

となります。これは、ある2財について、限界効用に比(限界代替率)が価格の比に等しいという式が得られます。

 また、上記の1階条件は、x_i \, (i = 1,\cdots , n)は価格p_1, \cdots , p_nと予算Eに依存しているため、

  x_i = d^i (p_1, \cdots , p_n , E)  \quad (i = 1,\cdots , n)

と表すことができます。このとき、d^iは需要関数と言われます。

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