モデル
ある消費者が、$ n$種類の$ x_i$財を、予算$ E$のもと、消費するとしましょう。
効用関数を$ u$、各財の価格を$ p_i$とすると、次式を最適化することになります。
$ \max \quad u(x_1,x_2,\cdots,x_n) $
$ s.t \quad x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = E $
このとき、次のようにラグランジュ関数$ L$を定義し、
$ L = u(x_1,x_2,\cdots,x_n) + \lambda ( E – x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n )$
一階の条件を求めると、$ n+1$個の式が得られます。
$ \dfrac{\partial L}{\partial x_1} = \dfrac{\partial u}{\partial x_1} – \lambda p_1 = 0$
$ \dfrac{\partial L}{\partial x_2} = \dfrac{\partial u}{\partial x_2} – \lambda p_2 = 0$
$ \vdots$
$ \dfrac{\partial L}{\partial x_n} = \dfrac{\partial u}{\partial x_n} – \lambda p_n = 0$
$ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = E – x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = 0$
これらの式から、$ \lambda$をキャンセルすると、
$ \dfrac{\partial u_i}{\partial u_j} = \dfrac{p_i}{p_j}$
となります。これは、ある2財について、限界効用に比（限界代替率）が価格の比に等しいという式が得られます。
また、上記の1階条件は、$ x_i \, (i = 1,\cdots , n)$は価格$ p_1, \cdots , p_n$と予算$ E$に依存しているため、
$ x_i = d^i (p_1, \cdots , p_n , E) \quad (i = 1,\cdots , n)$
と表すことができます。このとき、$ d^i$は需要関数と言われます。
参考
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』
西村和雄『ミクロ経済学』