成長会計によれば、人口減少は豊かさをもたらす?

人口減少が起こると、GDPなどが減少し貧しくなると思うかもしれませんが、成長会計を考えると、必ずしもそうではありません。数式がありますが、成長会計で説明します。

概要

 成長会計とは、生産力に必要なものとして、技術進歩 A、資本 K、労働力 L を考えたとき、それぞれがどれだけ、産出量 $Y$ に貢献するかを計測する方法です。

 コブ・ダグラス型の生産関数を想定した場合、次式が成長会計の式となります。

  \dfrac{d \, Y}{Y} = \dfrac{d \, A}{A} + \alpha \dfrac{d \, K}{K} + \beta \dfrac{d \, L}{L} \qquad (\alpha >0 \, , \, \beta>0)

 なお、d は増分で、例えば、d \, X / XX の増加率を表します。
 (この式の数学的な導出方法を知りたければ、「成長会計の導出方法」を参考にしてください)

 すなわち、上記の成長会計の式は、技術進歩・資本・労働力が増減したときに、どれだけ産出量が増減するかを示す式となっています。

人口減少の影響

 まず、議論を単純化するため、技術進歩と資本は変化がないとしましょう。
 このとき、

  \dfrac{d \, A}{A} = 0 \qquad ,\qquad \dfrac{d \, K}{K} = 0

となるので、成長会計の式は、次のように単純化できます。

  \dfrac{d \, Y}{Y} = \beta \dfrac{d \, L}{L} \qquad \cdots \qquad (1)

 また、人口減少を想定しているため、次式が成立しているとします。

  \dfrac{d \, L}{L} \textless 0 \qquad \cdots \qquad (2)

 これらの式をベースに人口減少の影響を考えます。

産出量への影響

 上記の (1) 式について、(2) 式を考えると、次のようになります。

  \dfrac{d \, Y}{Y} = \beta \dfrac{d \, L}{L} \textless 0

 つまり、人口減少が起こると、産出量は減少することが分かります。

 例えば、\beta = 0.4 で、1%人口減少するとしたら、d \, L / L = -0.01 なので、産出量は、

  \dfrac{d \, Y}{Y} = 0.4 \times (-0.01)

と、0.004 だけ、減少することになります(4%の産出量の減少)。

 この点から、確かに人口減少は、産出量の減少を招き、よくない状態と言えるでしょう。

1人当たり産出量への影響

 ところが、1人当たり考えると、答えは違ってきます。

 まず、1人当たりの産出量をyとすると、y = Y / L なので、次のように表せます。

  \dfrac{d \, y}{y} = \dfrac{d \, Y}{Y} - \dfrac{d \, L}{L} \qquad \cdots \qquad (3)

 このとき、d \, Y / Y と考えると、(2) 式から、1人当たりの産出量の増減にはプラスになることが分かります(人口の減少率が大きいほど、1人当たりの産出量 d \, y / y は大きくなる)。

 上記の \beta = 0.4 で、1%人口減少する場合を考えると、(3) 式から、

  \dfrac{d \, y}{y} = -0.004 - (-0.01) = 0.06

となり、人口が1%減少すると、1人当たりの産出量は6%増加することが分かります。

 このように、人口減少が起こると、産出量は減少するが、1人当たりの産出量は増加し、豊かになるということが言えるのです。

注意点

 何だか、トリックのような話ですが、数学的には正しいのです。

 ただ、この論理には、注意点があります。

 1つは、人口減少が技術進歩影響がないとしている点です。人口減少があれば、研究者なども減り、技術進歩が停滞するかもしれません。

 2つは、資本については、人口減少しても増減しない状態を想定しています。このロジック自体は、人口が減少しても、(摩耗はあるにせよ)設備・工場などの資本が減るわけではないので、正しいです。ただ、人口減少で減った人々が、維持されている資本をすべて使うことが想定されています。言い換えれば、人口減少が生じれば、設備や工場などの資本は遊休化・余ることが考えられますが、そういうことはないということが想定されています。

 3つは、人口減少の中でも、労働者の質は維持されているということです。高齢化などにより、労働力として生産性が下がれば、当然ながら、影響は生じます。

 以上から、人口減少すれば、絶対的に1人当たりの産出量は増加し、豊かになるのですが、この3つの注意点をクリアする必要もあるということです。

マクロ経済学
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