はじめに
IS-LM分析において、LM曲線は貨幣市場を対象としたもので、横軸に所得、縦軸に利子率をとると、右上がりの曲線として表されます。
このLM曲線について、閉鎖経済におけるモデルを、数式により導出をしたいと思います。
LM曲線の導出
LM曲線は貨幣市場を対象としているので、LM曲線を考えるにあたり、貨幣供給と貨幣需要を考えます。
貨幣量を$M$、物価を$P$とすると、実質貨幣供給は、次のようになります。
$\dfrac{M}{P}$
貨幣需要は、所得$Y$と名目金利$i$に影響を受けるので、次のような形で考えられます。
$\bar{m} + m Y \; – \; n i$
ここで、第一項の$\bar{m}$は所得や金利に影響を受けない基礎的な貨幣需要です。生産活動が大きくなると貨幣需要も大きくなると考えられるので、第二項の$m Y$があります。逆に、名目金利が大きくなると、預金や債券への需要が増大し、貨幣需要が減少するので、第三項$- \; n i$があります。
そして、貨幣市場においては、貨幣供給と貨幣需要は一致するので、
$\dfrac{M}{P} = \bar{m} + m Y \; – \; n i$
というLM曲線を得ることができます。
なお、これを$Y$について、式変形すると、次のような形にもなります。
$Y = \dfrac{1}{m} (M / P \; – \; \bar{m} + n i)$
この式で、所得と金利の関係を考えると、
$\dfrac{d i}{d Y} > 0$
なので、LM曲線は右上がりとなることが分かります。
LM曲線の金融政策の効果
LM曲線の式に基づいて、政府による金融政策の効果を考えましょう。金融政策なので、貨幣量を変更することを考えます。
そして、貨幣量を増減することで、LM曲線は右や左にシフトすることになります。
これを数式で見てみましょう。
LM曲線の式について、貨幣量$M$で微分すると、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d M} = \dfrac{1}{P m} > 0$
となり、貨幣量を増加させると、所得が増加することが分かります。
LM曲線での物価の影響
LM曲線において、物価がどのような影響を及ぼすのかを見てみましょう。
LM曲線の式について、物価$P$で微分すると、
$\displaystyle \dfrac{d Y}{d P} = – \dfrac{M}{P^2 m} < 0$
なので、物価が上昇すると、所得は減少してしまうことが分かります。
参考
齊藤誠・岩本康志・太田聰一・柴田章久『マクロ経済学』