次のような産業連関表があるとします。
| 中間需要 | 最終需要 | 総生産 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 産業1 | 産業1 | ||||
| 中間投入 | 産業1 | 40 | 70 | 10 | 120 |
| 産業2 | 120 | 80 | 10 | 210 | |
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【問題１】
投入係数行列$\textbf{A}$を求めてください。
【回答１】
中間投入を$x_{ij}$、総生産を$X_i$とすると、投入係数$a_{ij}$は、
$a_{ij} = \dfrac{x_{ij}}{X_j}$
であることから、
$\textbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.33 & 0.33\\
1 & 0.38
\end{bmatrix}$
となります。
【問題２】
レオンチェフ逆行列を求めてください。
【回答２】
レオンチェフ逆行列は、$(\textbf{I} \; – \; \textbf{A})^{-1}$なので、
$(\textbf{I} \; – \; \textbf{A})^{-1} = \dfrac{1}{(1 \; – \; a_{11})(1 \; – \; a_{22}) \; – \; a_{12} a_{21}}\begin{bmatrix}
1 \; – \; a_{22} & a_{12}\\
a_{21} & 1 \; – \; a_{11}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
7.8 & 4.2\\
12.6 & 8.4
\end{bmatrix}$
となります。
【問題３】
産業1と産業3の総生産単位当たりの付加価値を$v_1 = 3 \, , \, v_2=1$としたとき、価格$p_i$はどうなりますか。
【回答３】
価格ベクトルを$\textbf{p}$、単位当たりの付加価値ベクトルをを$\textbf{v}$とすると、$\textbf{p} = (\textbf{I} \; – \; \textbf{A})^{-1} \textbf{v}$なので、
$\textbf{p} = (\textbf{I} \; – \; \textbf{A})^{-1} \textbf{v} = \dfrac{1}{(1 \; – \; a_{11})(1 \; – \; a_{22}) \; – \; a_{12} a_{21}}\begin{bmatrix}
1 \; – \; a_{22} & a_{12}\\
a_{21} & 1 \; – \; a_{11}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
3\\
1\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
36\\
21\\
\end{bmatrix}$
となります。