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問題計量経済学初級

決定係数についての2つの計算問題

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計量経済学における決定係数と修正済み決定係数に関する問題を掲載しています。
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 標本数が$n$であり、被説明変数を$y_i$、説明変数を$x_i$、誤差項を$e_i$としたとき、次のようなモデルを考えるとします。

  $y_i = \alpha + \beta x_i + e_i (i = 1, \quad \cdots , \quad n)$

※「▶」をクリックすると、回答を見ることができます。

【問題1】
 このモデルを推計した結果、$y_i$について、平均を$\bar{y}$、推計値を$\hat{y_i}$とすると、

  $\displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i \; – \; \bar{y})^2 = 100$

  $\displaystyle \sum_{i=1}^n (\hat{y_i} \; – \; \bar{y})^2 = 81$

だったとします。

 このときの決定係数はどうなるでしょうか。

【回答1】 

 決定係数の公式は、次の通り。

  $\displaystyle R^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^n (\hat{y_i} \; – \; \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^n (y_i \; – \; \bar{y})^2} = 1 \;- \; \dfrac{\sum_{i=1}^n e_i^2}{\sum_{i=1}^n (y_i \; – \; \bar{y})^2}$

 このことから、決定係数は次のようになります。

  $\displaystyle R^2 = \dfrac{81}{100} = 0.81$

 また、

  $\displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = \sum_{i=1}^n (y_i \; – \; \bar{y})^2 \; – \; \sum_{i=1}^n (\hat{y_i} \; – \; \bar{y})^2$

なので、

  $\displaystyle \sum_{i=1}^n e_i^2 = 100 \; – \; 81 = 19$

となり、決定係数の式から、

  $\displaystyle R^2 = 1 \; – \; \dfrac{19}{100} = 0.81$

を得ることもできます。

【問題2】
 標本数が21だった場合、修正済み決定係数はどうなるでしょうか。

【回答2】 

 修正済み決定係数の公式は、未知のパラメーター数を$p$とすると、

  $\displaystyle \hat{R^2} = 1 \; – \; \dfrac{\sum_{i=1}^n e_i^2 \; / \; (n \; – \; p \; – \; 1)}{\sum_{i=1}^n (y_i \; – \; \bar{y})^2 \; / \; (n \; – \; 1)}$

なので、

  $\displaystyle \hat{R^2} = 1 \; – \; \dfrac{ (100 \; – \; 81) \; / \; (21 \; – \; 1 \; – \; 1)}{100 \; / \; (21 \; – \; 1)} = 1 \; – \; \dfrac{1}{20} = 0.95$

となります。

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