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投稿金融論入門

連続時間の複利計算の式と導出方法

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複利の金利計算について、連続時間の場合の式とその導出方法を説明します。
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計算式

 通常、複利については、離散時間で計算することが多いと思います。

 つまり、$r$を金利、$t$を年数、元本を$A_0$、$t$年後の資産を$A_t$とすると、

  $\displaystyle A_t = (1 + r)^t A_0$

という式を使うことになります(金利を$R$%としたとき、$r=R/100$で、少数で表現しています)。

 ただ、連続時間の場合には、次のような式になります。

  $\displaystyle A_t = e^{rt} A_0$

導出方法

 連続時間の場合の計算式について、導出方法を説明します。

 まずは、1年間において、$m$回に分けて複利運用するとしたら、上記の離散時間の式を想定すると、

  $\displaystyle A_t = \left[ \left( 1 + \dfrac{r}{m} \right)^m \right]^t A_0$

となります。$(1 + r/m)^m$の部分については、$m$回に分けるので、そのときの金利は$r/m$であり、複利なので$m$回の累乗を行っています。

 そして、$n=m/r$とすると、

  $\displaystyle A_t = \left[ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} \right]^{rt} A_0$

となります。

 ここで、ネイピア数の定義において、

  $\displaystyle e = \lim_{n \leftarrow \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \approx 2.718281828$

という式があるので、これを上記の式に使うと、

  $\displaystyle A_t = e^{rt} A_0$

となり、連続時間における金利の計算式を得ることができます。

参考

  藤木裕『金融の基礎

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