時系列モデルにおける単位根検定について

はじめに

　時系列モデルにおける自己回帰モデル（ARモデル）を使うとき、定常性が問題になります。
　すなわち、

　　 $Y_t = \phi Y_{t-1} + c + \varepsilon_t$

のようなAR(1)モデルがあったとき、

　 $| \phi | \textless 1$

という条件が求められます。

　 $\phi \textgreater 1$ については、発散してしまうため排除するにしても、 $\phi = 1$ に近い推計値が得られることがあり、 $\phi = 1$ であるかどうかが問題になります。そして、 $\phi = 1$ の場合には、そのままAR(1)モデルを使用するのではなく、単位根モデルを使う必要があります。

　そこで、 $\phi = 1$ であるかどうかを検証する必要があり、これが「単位根検定」と呼ばれるものです。

DF検定

　AR(1)モデルにおいては、DF検定（Dickey-Fuller検定）を行うことになります。

　 $\Delta = Y_t - Y_{t-1}$ 、 $\alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

　この場合は、

　　 $\Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

① $\tau$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $t$ 値（ $\tau$ 統計）

② $z$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $\hat{\alpha}$ （ $z$ 統計）

③ $F$ 統計（ $\alpha = \beta = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \beta = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \beta = 0$ ）

トレンドあり

　この場合は、

　　 $\Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

① $\tau$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $t$ 値（ $\tau$ 統計）

② $z$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $T \hat{\alpha}$ （ $z$ 統計）

③ $F$ 統計（ $\alpha = \beta = \gamma = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \beta = \gamma = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \beta = \gamma = 0$ ）

④ $F$ 統計（ $\alpha = \gamma = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \gamma = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \gamma = 0$ ）

ADF検定

　AR(p)モデルにおいては、ADF検定（augmented Dickey-Fuller検定）を行うことになります。

　DF検定と同様に、 $\Delta = Y_t - Y_{t-1}$ 、 $\alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

　この場合は、

　　 $\Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

① $\tau$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $t$ 値　 $\tau$ 統計

② $z$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $\hat{\alpha}$ 　 $z$ 統計

③ $F$ 統計（ $\alpha = \beta = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \beta = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \beta = 0$ ）

トレンドあり

　この場合は、

　　 $\Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

① $\tau$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $t$ 値　 $\tau$ 統計

② $z$ 統計
　帰無仮説　： $\alpha = 0$
　検定統計量： $\hat{\alpha}$ 　 $z$ 統計

③ $F$ 統計（ $\alpha = \beta = \gamma = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \beta = \gamma = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \beta = \gamma = 0$ ）

④ $F$ 統計（ $\alpha = \gamma = 0$ ）
　帰無仮説　： $\alpha = \gamma = 0$
　検定統計量： $F$ 統計（ $\alpha = \gamma = 0$ ）

参考

　山本拓『経済の時系列分析』
　黒住英司『計量経済学』