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投稿計量経済学上級

時系列モデルにおける単位根検定について

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時系列モデルにおいて重要な単位根検定について解説します。
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はじめに

 時系列モデルにおける自己回帰モデル(ARモデル)を使うとき、定常性が問題になります。
 すなわち、

  $ Y_t = \phi Y_{t-1} + c + \varepsilon_t$

のようなAR(1)モデルがあったとき、

 $ | \phi | \lt 1$

という条件が求められます。

 $ \phi \gt 1$ については、発散してしまうため排除するにしても、$ \phi = 1$ に近い推計値が得られることがあり、$ \phi = 1$ であるかどうかが問題になります。そして、$ \phi = 1$ の場合には、そのままAR(1)モデルを使用するのではなく、単位根モデルを使う必要があります。

 そこで、$ \phi = 1$ であるかどうかを検証する必要があり、これが「単位根検定」と呼ばれるものです。

DF検定

 AR(1)モデルにおいては、DF検定(Dickey-Fuller検定)を行うことになります。

 $ \Delta = Y_t – Y_{t-1}$、$ \alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

 この場合は、

  $ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

①$ \tau$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ t$値($ \tau$ 統計)

②$ z$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ \hat{\alpha}$($ z$ 統計)

③$ F$ 統計($ \alpha = \beta = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \beta = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \beta = 0$)

トレンドあり

 この場合は、

  $ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

①$ \tau$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ t$値($ \tau$ 統計)

②$ z$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ T \hat{\alpha}$($ z$ 統計)

③$ F$ 統計($ \alpha = \beta = \gamma = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \beta = \gamma = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \beta = \gamma = 0$)

④$ F$ 統計($ \alpha = \gamma = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \gamma = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \gamma = 0$)

ADF検定

 AR(p)モデルにおいては、ADF検定(augmented Dickey-Fuller検定)を行うことになります。

 DF検定と同様に、$ \Delta = Y_t – Y_{t-1}$、$ \alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

 この場合は、

  $ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

①$ \tau$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ t$値 $ \tau$ 統計

②$ z$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ \hat{\alpha}$ $ z$ 統計

③$ F$ 統計($ \alpha = \beta = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \beta = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \beta = 0$)

トレンドあり

 この場合は、

  $ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$

について、次のような3つの検定方法があります。

①$ \tau$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ t$値 $ \tau$ 統計

②$ z$ 統計
 帰無仮説 :$ \alpha = 0$
 検定統計量:$ \hat{\alpha}$ $ z$ 統計

③$ F$ 統計($ \alpha = \beta = \gamma = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \beta = \gamma = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \beta = \gamma = 0$)

④$ F$ 統計($ \alpha = \gamma = 0$)
 帰無仮説 :$ \alpha = \gamma = 0$
 検定統計量:$ F$ 統計($ \alpha = \gamma = 0$)

参考

 山本拓『経済の時系列分析
 黒住英司『計量経済学

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