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時系列モデルにおける単位根検定について

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はじめに

 時系列モデルにおける自己回帰モデル(ARモデル)を使うとき、定常性が問題になります。
 すなわち、

  Y_t = \phi Y_{t-1} + c + \varepsilon_t

のようなAR(1)モデルがあったとき、

 | \phi | \textless 1

という条件が求められます。

 \phi \textgreater 1 については、発散してしまうため排除するにしても、\phi = 1 に近い推計値が得られることがあり、\phi = 1 であるかどうかが問題になります。そして、\phi = 1 の場合には、そのままAR(1)モデルを使用するのではなく、単位根モデルを使う必要があります。

 そこで、\phi = 1 であるかどうかを検証する必要があり、これが「単位根検定」と呼ばれるものです。

DF検定

 AR(1)モデルにおいては、DF検定(Dickey-Fuller検定)を行うことになります。

 \Delta = Y_t - Y_{t-1}\alpha = \phi -1 として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

 この場合は、

  \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \varepsilon_t

について、次のような3つの検定方法があります。

\tau 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:t値(\tau 統計)

z 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:\hat{\alpha}z 統計)

F 統計(\alpha = \beta = 0
 帰無仮説 :\alpha = \beta = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \beta = 0

トレンドあり

 この場合は、

  \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1}  + \beta + \gamma t + \varepsilon_t

について、次のような3つの検定方法があります。

\tau 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:t値(\tau 統計)

z 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:T \hat{\alpha}z 統計)

F 統計(\alpha = \beta = \gamma = 0
 帰無仮説 :\alpha = \beta = \gamma = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \beta = \gamma = 0

F 統計(\alpha = \gamma = 0
 帰無仮説 :\alpha = \gamma = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \gamma = 0

ADF検定

 AR(p)モデルにおいては、ADF検定(augmented Dickey-Fuller検定)を行うことになります。

 DF検定と同様に、\Delta = Y_t - Y_{t-1}\alpha = \phi -1 として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。

トレンドなし

 この場合は、

  \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t

について、次のような3つの検定方法があります。

\tau 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:t値 \tau 統計

z 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:\hat{\alpha} z 統計

F 統計(\alpha = \beta = 0
 帰無仮説 :\alpha = \beta = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \beta = 0

トレンドあり

 この場合は、

  \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t

について、次のような3つの検定方法があります。

\tau 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:t値 \tau 統計

z 統計
 帰無仮説 :\alpha = 0
 検定統計量:\hat{\alpha} z 統計

F 統計(\alpha = \beta = \gamma = 0
 帰無仮説 :\alpha = \beta = \gamma = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \beta = \gamma = 0

F 統計(\alpha = \gamma = 0
 帰無仮説 :\alpha = \gamma = 0
 検定統計量:F 統計(\alpha = \gamma = 0

参考

 山本拓『経済の時系列分析
 黒住英司『計量経済学

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