はじめに
時系列モデルにおける自己回帰モデル（ARモデル）を使うとき、定常性が問題になります。
すなわち、
$ Y_t = \phi Y_{t-1} + c + \varepsilon_t$
のようなAR(1)モデルがあったとき、
$ | \phi | \lt 1$
という条件が求められます。
$ \phi \gt 1$ については、発散してしまうため排除するにしても、$ \phi = 1$ に近い推計値が得られることがあり、$ \phi = 1$ であるかどうかが問題になります。そして、$ \phi = 1$ の場合には、そのままAR(1)モデルを使用するのではなく、単位根モデルを使う必要があります。
そこで、$ \phi = 1$ であるかどうかを検証する必要があり、これが「単位根検定」と呼ばれるものです。
DF検定
AR(1)モデルにおいては、DF検定（Dickey-Fuller検定）を行うことになります。
$ \Delta = Y_t – Y_{t-1}$、$ \alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。
トレンドなし
この場合は、
$ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \varepsilon_t$
について、次のような3つの検定方法があります。
①$ \tau$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ t$値（$ \tau$ 統計）
②$ z$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ \hat{\alpha}$（$ z$ 統計）
③$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \beta = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = 0$）
トレンドあり
この場合は、
$ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \varepsilon_t$
について、次のような3つの検定方法があります。
①$ \tau$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ t$値（$ \tau$ 統計）
②$ z$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ T \hat{\alpha}$（$ z$ 統計）
③$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = \gamma = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \beta = \gamma = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = \gamma = 0$）
④$ F$ 統計（$ \alpha = \gamma = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \gamma = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \gamma = 0$）
ADF検定
AR(p)モデルにおいては、ADF検定（augmented Dickey-Fuller検定）を行うことになります。
DF検定と同様に、$ \Delta = Y_t – Y_{t-1}$、$ \alpha = \phi -1$ として、階差をとり、トレンドの有無などで、次のような検討を行います。
トレンドなし
この場合は、
$ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$
について、次のような3つの検定方法があります。
①$ \tau$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ t$値 $ \tau$ 統計
②$ z$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ \hat{\alpha}$ $ z$ 統計
③$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \beta = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = 0$）
トレンドあり
この場合は、
$ \Delta Y_t = \alpha Y_{t-1} + \beta + \gamma t + \sum_{i=1}^{p} \theta_i \Delta_{t-i} +\varepsilon_t$
について、次のような3つの検定方法があります。
①$ \tau$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ t$値 $ \tau$ 統計
②$ z$ 統計
帰無仮説 ：$ \alpha = 0$
検定統計量：$ \hat{\alpha}$ $ z$ 統計
③$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = \gamma = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \beta = \gamma = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \beta = \gamma = 0$）
④$ F$ 統計（$ \alpha = \gamma = 0$）
帰無仮説 ：$ \alpha = \gamma = 0$
検定統計量：$ F$ 統計（$ \alpha = \gamma = 0$）