ヤングの定理

ヤングの定理

　ヤングの定理とは、

　　「多変数関数について、いずれかの偏導関数が連続であるとき、偏微分の順序を入れ替えても、値は同じになる」

というものです。

　$n$個の変数に関する多変数関数$f(x_1 \, , \, cdots \, , \, x_n)$を考えると、

　　$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \, \partial x_i}$

が成り立つというものです（分母の$i$と$j$の順序が入れ替わっているのに注意してください）。

例

　次のようなコブダグラス型生産関数を考えます。

　　$Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$

　そして、これを偏微分すると、

　　$\dfrac{\partial^2 Y}{\partial K \, \partial L} = \alpha (1-\alpha) K^{\alpha – 1} L^{-\alpha}$

　　$\dfrac{\partial^2 Y}{\partial L \, \partial K} = \alpha (1-\alpha) K^{\alpha – 1} L^{-\alpha}$

であり、等しいことが分かります。

注意点

　こんなことが当たり前じゃないかと思うかもしれませんが、連続ではない関数のときには、このヤングの定理は成立しません。

　ただ経済学においては、ほとんどの場合、連続であることが仮定されるので、問題がないと考えていいでしょう。

参考

　　ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』