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仮説検定の3つの考え方について

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投稿計量経済学初級
計量経済学に関し、仮説検定における根本的な3つの原理・考え方について、説明しています。
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 仮説検定においては、仮説値がパラメーターと一致するかどうかを検定することになります。

 そうしたときに、色々な検定があるわけですが、基本的な考え方として、3つのものがあります。

  ・ワルド原理

  ・尤度比原理

  ・スコア原理(ラグランジュ乗数原理)

 これらについて、説明したいと思います。

ワルド原理

 パラメーターを$a^*$、仮説値を$\hat{a}$とすると、まず思いつくのが、この2つの値が似ているかどうかだと思います。
 そうしたときに、差をとって、その差が$0$に近いほど、この2つの値は一致していると考えられるでしょう。

  $a^* - \hat{a}$

 このようなもとに考えられている検定原理を、ワルド原理と言います。
 計量経済学で最初のほうに出てくるt検定などは、この原理に基づいています。

尤度比原理

 パラメーター$a^*$の残差二乗和を$RSS(a^*)$、仮説値の残差二乗和を$RSS(\hat{a})$としましょう。
 パラメーターと仮説値が異なるほど、この残差二乗和も一致しなくなります。

 このようなときに、ワルド原理ではパラメーターと仮説値自体が一致しているかを考えましたが、この残差二乗和が一致しているかどうかを考えることができます。

  $RSS(a^*) - RSS(\hat{a})$

 このような考えの検定原理を、尤度比原理と言います。
 $\chi^2$検定やF検定などで、用いられているものです。

スコア原理(ラグランジュ乗数原理)

 尤度比原理では、残差二乗和の差をとって、パラメーターと仮説値が一致しているかどうかを考えました。

 残差二乗和は、パラメーターから離れた仮説値ほど、大きくなると言えます。
 ということは、パラメーター$a^*$の残差二乗和$RSS(a^*)$は、残差二乗和の中でも最小値をとると言えるので、残差二乗和を微分した

  $RSS'(a^*) = 0$

となり、仮説値の残差二乗和$RSS(\hat{a})$は、

  $RSS'(\hat{a}) \neq 0$

と考えられるので、この差を見ることで検定を行うことができます。

 そしてこの検定原理を「スコア原理」(ラグランジュ乗数原理)と言います。

参考

  鹿野繁樹『新しい計量経済学

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