市場モデルについて

市場モデル

　個別証券の収益率を予想するときに、どのような方法があるでしょうか。

　その1つとして用いられるのが、「市場モデル」（market model）です。

　ある証券$i$について、収益率を$r_i$、市場ポートフォリオの収益率を$r_M$とすると、市場モデルは、次のように定義されます。

　　$r_i = a_i + b_i r_M + \epsilon_i$

　ここで、$a_i , b_i$は定数・係数であり、$\epsilon_i$は誤差項です。

　市場収益率と個別証券の収益率のデータを用いて、この式を推計すると、個別証券$i$の収益率に関するモデルができることになります。

　市場モデルの式にあるように、証券$i$の収益率は、市場収益率$r_M$で説明できる部分とそれ以外の誤差項$\epsilon_i$で説明できる部分に分かれていることが分かります。

　言い換えれば、市場モデルにおける個別証券の収益率は、市場全体の動向と個別証券の構造に影響されるモデルとなっています。

　市場収益率$r_M$と誤差項$\epsilon_i$が無相関ならば、個別証券の収益率$r_i$の分散$\sigma_i$は、次のようになります。

　　$\sigma_i = b_i^2 \sigma_{r_M}^2 + \sigma_{\epsilon_i}^2$

　ここで、$\sigma_{r_M}^2$は市場収益率の分散で、$\sigma_{epsilon_i}^2$は誤差項の分散です。そしてそれぞれ、次のように言われます。　

　　　$\sigma_{r_M}^2$　…　システマティックリスク

　　　$\sigma_{\epsilon_i}^2$　…　アンシステマティックリスク

　ここでのポイントは、個別証券の収益率の分散（リスク）は、システマティックリスクとアンシステマティックリスクに分けられ、システマティックリスクは市場全体で決まるため、いくらいろいろな個別証券を検討しても、どうにもならないリスクがあるということです。

　市場モデルについて、係数$b_i$を推計すると、この$b_i$はCAPMのβになります。

　あるポートフォリオを考えるとして、その収益率を$r_P$とします。このときの収益率は、

　　$\displaystyle r_P = \sum^{n}_{i=1} w_i r_i$

で表すことができます（$w_i$は、証券$i$に対する投資比率）。

　ここで、市場モデルの式をこのポートフォリオに代入し、

　　$\displaystyle a_P = \sum^{n}_{i=1} w_i a_i$

　　$\displaystyle b_P = \sum^{n}_{i=1} w_i b_i$

　　$\displaystyle \epsilon_P = \sum^{n}_{i=1} w_i \epsilon_i$

とすると、

　　$r_P = a_P + b_P r_M + \epsilon_P$

と表すことができ、このポートフォリオの収益も、市場モデルに従うことが分かります。

　　釜江廣志編『入門証券市場論』

　　刈屋武昭・佃良彦（編著）『金融・証券数量分析入門』