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複占におけるクールノー均衡

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概要

　複占においては、ライバルは1社しかないので、ライバル企業の行動は自社にとって重要です。どのような価格をつけるのか、どれだけ供給するかで、自社は大きく影響を受けるからです。

　このとき、企業の供給量が価格に影響を与えるとすると、ライバルの供給量に応じて、自社も供給量を変えていく必要があります。そして、このような状況で成立する均衡を、「クールノー均衡」と言います。

　以下では、数式モデルで説明します。

モデル

　複占において、企業1と企業2があるとします。
　それぞれの企業の利益を　 $\pi_1 , \pi_2$ 、供給量を　 $x_1 , x_2$ 　、費用関数を　 $C_1(x_1) , C_2(x_2)$ とします。

企業1

　市場で決まる価格を $p$ とすると、企業1の利潤関数は、

　　 $\pi_1 = p x_1 - C_1(x_1) \quad \cdots \quad (1)$

となります。

　ここで、価格は企業2の供給量の影響も受けるので、

　　 $p = F(x_1 + x_2)$

が成立するとしましょう。

　このとき、 $(1)$ 式は、次のようになります。

　　 $\pi_1 = F(x_1 + x_2) x_1 - C_1(x_1)$
　　
　そして、このような利潤関数のもとで、企業1が利潤最大化行動をとるとすると、

　　 $\displaystyle \dfrac{d \, \pi_1}{d \, x_1} = F'(x_1 + x_2) x_1 + F'(x_1 + x_2) - C'_1(x_1) = 0$

が得られ、 $x_1$ と $x_2$ だけの式となり、次のような式を定義することができます。

　　 $x_1 = g_1(x_2) \quad \cdots \quad (2)$
　
　すなわち、企業1は、企業2の供給量 $x_2$ により、自社の供給量 $x_1$ を決定することになります。そして、相手の供給量に反応して、自社の供給量を決めるということから、 $g_1$ は「反応関数」と呼ばれます。

企業2

　同様に企業2も考えることができますので、次のような反応関数を得ることができます。

　　 $x_2 = g_2(x_1) \quad \cdots \quad (3)$

クールノー均衡

　 $(2)(3)$ 式のもと、それぞれの供給量が $x_1^\ast , x_2^\ast$ について、

　　 $x_1^\ast = g_1(x_2^\ast)$

　　 $x_2^\ast = g_2(x_1^\ast)$

が成立する状態を、「クールノー均衡」と呼びます（もしくは、「クールノー均衡=ナッシュ均衡」と呼ばれたりもします）。

均衡の安定性

　クールノー均衡は必ず成立するものではなく、それぞれの反応関数により、安定的な状況と不安定な状況があります。

　相手の反応を見ながら、自社の供給量を決めていった結果で、両社で供給が行われる「安定的」な状況もあれば、相手の反応を見ながら供給量を決めた結果、1社でしか供給されない「不安定」な状況があり得ます。

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