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弾力性を推計したいときは、対数線形モデルを使う

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投稿計量経済学中級
経済学において、弾力性を推計したいとき、対数線形モデルを使えばいいのですが、なぜそうなのかを含め、説明します。
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はじめに

 経済学では、弾力性という言葉がよく出てきます。

 弾力性とは、ある値が1%変化したとき、別の値が何%変化するという指標です。

 例えば、需要の価格弾力性ならば、価格が1%変化したとき、需要量が何%変わるかというものになります。
 数式でいえば、価格を$P$、需要を$X$とすると、需要の価格弾力性$\varepsilon$は、

  $\varepsilon = \dfrac{d X / X}{d P / P}$

という式になります。

   経済学で重要な価格弾力性

 ところで、計量的にこの弾力性を推計したい場合は、どうすればいいのかを説明したいと思います。

弾力性の推計

 推計するモデルについては、いろいろと応用できますが、基本的な考えについて、まず結論を言えば

  「対数線形モデルを使う」

というものです。

 上記の需要の価格弾力性についていえば、価格と需要量のデータがあれば、

  $\ln X = a + \varepsilon \ln P + u \quad \cdots \quad (*)$

という式を推計すればいいわけです($u$は誤差項)。そして、推計した係数$\varepsilon$が弾力性になります。

理由

 直観的にわかりそうですが、なぜ、$(*)$を推計すれば、弾力性が得られるのかについて、説明します。

 $(*)$式を全微分すれば、

  $\dfrac{\partial (\ln X)}{\partial X} dX = \varepsilon \dfrac{\partial (\ln P)}{\partial P} dP$

となります。

   偏微分と全微分  

 そして、$d(\ln X)/ d X = 1 /X$であることに注意すると、

  $\dfrac{d X}{X} = \varepsilon \dfrac{d P}{P}$

なので、

  $\dfrac{d X / X}{d P / P} = \varepsilon$

という弾力性の定義式になり、$P$の推計係数$\varepsilon$は、まさしく弾力性を表しています。

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