はじめに
経済学では、弾力性という言葉がよく出てきます。
弾力性とは、ある値が1%変化したとき、別の値が何%変化するという指標です。
例えば、需要の価格弾力性ならば、価格が1%変化したとき、需要量が何%変わるかというものになります。
数式でいえば、価格を$P$、需要を$X$とすると、需要の価格弾力性$\varepsilon$は、
$\varepsilon = \dfrac{d X / X}{d P / P}$
という式になります。
ところで、計量的にこの弾力性を推計したい場合は、どうすればいいのかを説明したいと思います。
弾力性の推計
推計するモデルについては、いろいろと応用できますが、基本的な考えについて、まず結論を言えば
「対数線形モデルを使う」
というものです。
上記の需要の価格弾力性についていえば、価格と需要量のデータがあれば、
$\ln X = a + \varepsilon \ln P + u \quad \cdots \quad (*)$
という式を推計すればいいわけです（$u$は誤差項）。そして、推計した係数$\varepsilon$が弾力性になります。
理由
直観的にわかりそうですが、なぜ、$(*)$を推計すれば、弾力性が得られるのかについて、説明します。
$(*)$式を全微分すれば、
$\dfrac{\partial (\ln X)}{\partial X} dX = \varepsilon \dfrac{\partial (\ln P)}{\partial P} dP$
となります。
そして、$d(\ln X)/ d X = 1 /X$であることに注意すると、
$\dfrac{d X}{X} = \varepsilon \dfrac{d P}{P}$
なので、
$\dfrac{d X / X}{d P / P} = \varepsilon$
という弾力性の定義式になり、$P$の推計係数$\varepsilon$は、まさしく弾力性を表しています。