正方行列関係
正方行列
行と列の成分の個数が等しいとき、「正方行列」と言います。
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{bmatrix}$
対角行列
対角成分以外の成分が、すべて0であるような行列を「対角行列」と言います。
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}\\
\end{bmatrix}$
スカラー行列
対角行列のうち、すべての対角成分が同じであるとき、「スカラー行列」と言います。
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a & 0 & \cdots & 0\\
0 & a & \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & a\\
\end{bmatrix}$
単位行列
スカラー行列のうち、すべての対角成分が1であるとき、「単位行列」と言います。
$\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}$
ゼロ行列
行列のすべての成分が0であるとき、「ゼロ行列」と言います。
$\mathbf{0} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0\\
\end{bmatrix}$
正則行列
正方行列のうち、行列式が非負になるとき、「正則行列」と言います。
$|\mathbf{A}| \neq 0$のときの$\mathbf{A}$
なお、このことから、次のように、ある正方行列に対して、その積が単位行列になるような正方行列$\mathbf{X}$があるとき、「正則行列」であるとも言えます。
$\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{I}$
転置行列関係
転置行列
$m\times n$行列について、行と列を入れ替えた行列を「転置行列」と言います。
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}$
のとき、転置行列$\mathbf{A}^t$は、次のようなものです。
$\mathbf{A}’ = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\\
\end{bmatrix}$
対称行列
正方行列で、転置行列と元の行列が等しいとき、「対称行列」と言います。
$\mathbf{A} = \mathbf{A}’$
反対称行列
正方行列で、転置行列と元の行列の正負を入れ替えたものが等しいとき、「反対称行列」と言います。
$\mathbf{A} = \; – \; \mathbf{A}’$
直交行列
正方行列で、転置行列と元の行列の積が、単位行列になるとき、「直交行列」と言います。
$\mathbf{A} \mathbf{A}’ = \mathbf{A}’ \mathbf{A} = \mathbf{I}$
参考
ピーター・バーク、クヌート・シュドセーテル『エコノミスト数学マニュアル』
渡部睦夫『線形代数』