ダービン・ワトソン比について、その意味や考えを説明

概要

　基本的な回帰モデルにおいては、誤差項について正規分布 $N(\sigma^2 , \, \rho)$ に従うとして、分散 $\sigma^2$ や系列相関 $\rho$ が一定・独立であることが前提とされます。

　しかし、この前提が必ずしも満たされるとは限らず、データを確認し、これらがどうなのかを調べる必要があります。

　そこで、系列相関 $\rho$ について、相関があるのかないのかを調べようとするのが、ダービン・ワトソン比です。

　当然ながら、いくつものデータがある中で、いろいろと相関の可能性はありますが、ダービン・ワトソン比では、一期前のデータと相関があるのかを調べます。
　統計学的に言えば、誤差項 $u_t$ について、

　　 $u_t \, = \, \gamma u_{t-1} \, + \, \varepsilon$

のような1次自己回帰式で $\gamma=0$ となるかが問題となります。

ダービン・ワトソン比の定義

　ダービン・ワトソン比（ $DW$ ）は、残差 $e_t$ について、次のように定義されます。

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} (e_i - e_{i-1})^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \qquad \cdots \qquad (1)$

　相関の有無を知るため、 $i$ 期の残差 $e_i$ について、1期前の残差$e_{i-1}$との差 $e_i - e_{i-1}$ をとっています。例えば、この差が0であるときには、 $i$ 期の残差と1期前の残差が等しいということで、正の相関があると考えられます。
　ただ、正負の問題があることから二乗したものとなっています。また、そのままの形では、データにより大きさが異なるため、 $\sum^t_{i=1} e^2_i$ で割ることで、スケーリング・基準化しています。

ダービン・ワトソン比の解釈

　ダービン・ワトソン比を計算したとき、ダービン・ワトソン比は0～4の値をとり、次のように考えられます。

　　 $DW$ が0に近いとき　⇒　正の相関あり（自己相関あり）

　　 $DW$ が2に近いとき　⇒　相関なし

　　 $DW$ が4に近いとき　⇒　負の相関あり（自己相関あり）

　ですので、1次の自己回帰の有無を調べようとしたとき、系列相関がないことを求めようとするならば、ダービン・ワトソン比は2あたりの数値であることが必要になります。

なぜ、このような解釈になるのか

　解釈の考え方を分かりやすく説明するため、 $(1)$ 式を、次のように変形します。。

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_{i-1} + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \qquad \cdots \qquad (2)$

正の相関があるとき
　完全に正の相関があるとき、残差について $e_i=e_{i-1}$ が成立しますので、 $(2)$ 式は

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_i + \sum^t_{i=1} e_i^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} = 0$

となります。このため、 $DW$ が0に近いほど、正の相関があるとされます。

相関なしのとき
　相関がないとき、残差について $e_i , e_{i-1}$ はそれぞれ独立しており、 $e_i \cdot e_{i-1}=0$ が成立しますので、 $(2)$ 式は

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_{i-1} + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i}$

となります。このとき、データ数 $t$ が十分に大きければ、

　 $\dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \fallingdotseq 1$

が成立するので、

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \fallingdotseq 2$

となります。このため、 $DW$ が2に近いほど、相関がないとされます。

負の相関があるとき
　完全に負の相関があるとき、残差について $e_i=-e_{i-1}$ が成立しますので、 $(2)$ 式は

　　 $\displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_i + \sum^t_{i=1} e_i^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} = 4$

となります。このため、 $DW$ が4に近いほど、負の相関があるとされます。

まとめ

　数式を交えながら、ダービン・ワトソン比の意味や解釈を説明しました。

　正直、実証などを行うにあたっては、数学的な意味合いよりは、その値がどうなのかのほうが、遥かに重要です。

　とはいえ、そもそものダービン・ワトソン比の定義やこのような考えを知ることで、ダービン・ワトソン比が何を調べているのかを知っておくことは、大事だと思います。