ダービン・ワトソン比について、その意味や考えを説明

計量経済学において、系列相関の有無を調べる方法として、ダービン・ワトソン比(DW比)があります。このダービン・ワトソン比について、その意味や考えを数式・証明を交えながら説明します。

概要

 基本的な回帰モデルにおいては、誤差項について正規分布 N(\sigma^2 , \, \rho) に従うとして、分散 \sigma^2 や系列相関 \rho が一定・独立であることが前提とされます。

 しかし、この前提が必ずしも満たされるとは限らず、データを確認し、これらがどうなのかを調べる必要があります。

 そこで、系列相関 \rho について、相関があるのかないのかを調べようとするのが、ダービン・ワトソン比です。

 当然ながら、いくつものデータがある中で、いろいろと相関の可能性はありますが、ダービン・ワトソン比では、一期前のデータと相関があるのかを調べます。
 統計学的に言えば、誤差項 u_t について、

  u_t \, = \, \gamma u_{t-1} \, + \, \varepsilon

のような1次自己回帰式で \gamma=0 となるかが問題となります。

ダービン・ワトソン比の定義

 ダービン・ワトソン比( DW )は、残差 e_t について、次のように定義されます。

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} (e_i - e_{i-1})^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \qquad \cdots \qquad (1)

 相関の有無を知るため、i 期の残差 e_i について、1期前の残差$e_{i-1}$との差 e_i - e_{i-1} をとっています。例えば、この差が0であるときには、i 期の残差と1期前の残差が等しいということで、正の相関があると考えられます。
 ただ、正負の問題があることから二乗したものとなっています。また、そのままの形では、データにより大きさが異なるため、 \sum^t_{i=1} e^2_i で割ることで、スケーリング・基準化しています。

ダービン・ワトソン比の解釈

 ダービン・ワトソン比を計算したとき、ダービン・ワトソン比は0~4の値をとり、次のように考えられます。

  DW が0に近いとき ⇒ 正の相関あり(自己相関あり)

  DW が2に近いとき ⇒ 相関なし

  DW が4に近いとき ⇒ 負の相関あり(自己相関あり)

 ですので、1次の自己回帰の有無を調べようとしたとき、系列相関がないことを求めようとするならば、ダービン・ワトソン比は2あたりの数値であることが必要になります。

なぜ、このような解釈になるのか

 解釈の考え方を分かりやすく説明するため、(1) 式を、次のように変形します。。

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_{i-1} + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \qquad \cdots \qquad (2)

正の相関があるとき
 完全に正の相関があるとき、残差について e_i=e_{i-1} が成立しますので、(2) 式は

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_i + \sum^t_{i=1} e_i^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} = 0

となります。このため、DW0に近いほど、正の相関があるとされます。

相関なしのとき
 相関がないとき、残差について e_i , e_{i-1} はそれぞれ独立しており、e_i \cdot e_{i-1}=0 が成立しますので、(2) 式は

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 - 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_{i-1} + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} =  \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i}

となります。このとき、データ数 t が十分に大きければ、

 \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \fallingdotseq 1

が成立するので、

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + \sum^t_{i=1} e_{i-1}^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} \fallingdotseq 2

となります。このため、DW2に近いほど、相関がないとされます。

負の相関があるとき
 完全に負の相関があるとき、残差について e_i=-e_{i-1} が成立しますので、(2) 式は

  \displaystyle DW = \dfrac{\displaystyle \sum^t_{i=1} e_i^2 + 2 \sum^t_{i=1} e_i \cdot e_i + \sum^t_{i=1} e_i^2}{\displaystyle \sum^t_{i=1} e^2_i} = 4

となります。このため、DW4に近いほど、負の相関があるとされます。

まとめ

 数式を交えながら、ダービン・ワトソン比の意味や解釈を説明しました。

 正直、実証などを行うにあたっては、数学的な意味合いよりは、その値がどうなのかのほうが、遥かに重要です。

 とはいえ、そもそものダービン・ワトソン比の定義やこのような考えを知ることで、ダービン・ワトソン比が何を調べているのかを知っておくことは、大事だと思います。

タイトルとURLをコピーしました