スピアマンの順位相関係数について

はじめに

　ある2種類のデータがあるときに、それらがデータ間で関係しているのかどうかを知りたいときがあります。
　例えば、ある高校生のクラスを考えたとき、勉強量とテストの点数は、本当に関係ししているのかといった具合です。

　このときには、一般的には、（ピアソンの）「相関係数」を使えば、関係があれば1に近い値をとり、逆に反対の値の動きならば、-1の値に近づくなど、2つの種類のデータの関係を指標化できます。

　ところで、この2種類のデータが順位のデータであるときに、使うことができるものとして、「スピアマンの順位相関係数」があります。

　このスピアマンの順位相関係数について、説明します。

スピアマンの順位相関係数

　$x_i$と$y_iの$2種類の順位データがあるとします。データ数が$n$ならば、

　　$1 \le　x_i \le　n \quad (i =1 \, , \, \cdots \, , \, n)$

　　$1 \le　y_i \le　n \quad (i =1 \, , \, \cdots \, , \, n)$

といった自然数のデータです。

　この2つのデータについて、差をとって、

　　$d_i = x_i \, – \, y_i$

とすると、スピアマンの順位相関係数$\rho$は、次のようになります。

　　$\rho = 1 \, – \, \dfrac{\displaystyle 6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 \, – \, 1)} \quad \cdots \quad (*)$

例

　AからEまでの5人がおり、英語、数学についての点数の順位のデータが、次のようになったとします。

　上記の式のように、差を英語と数学の順位について、差をとると（計算上、差の2乗も計算）、

となります。

　これを上記の式$(*)$に当てはまると、

　　$\rho = 1 \, – \, \dfrac{\displaystyle 6 (1 + 1+ 4 + 4 + 16)}{5(5^2 \, – \, 1)} = 0.3$

であり、スピアマンの順位相関係数は、0.3であることがわかります。

スピアマンの順位相関係数の値の範囲

　スピアマンの順位相関係数は、通常の相関係数と同様に、1から-1の値をとります。
　念のため、これを証明しておきましょう。

完全一致

　順位が完全に一致するときには、スピアマンの順位相関係数は1となります。
　一致するときには、

　　$d_i = x_i \, – \, y_i = 0$

なので、$(*)$式に$d_i$を代入すると、

　　$\rho = 1 \, – \, \dfrac{\displaystyle 6\sum_{i=1}^n 0}{n(n^2 \, – \, 1)} = 1$

というように、1になります。

逆順位

　完全に逆順位になるときには、

　　$x_i + y_i = n + 1$

なので、

　　$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_i^2 = \sum_{i=1}^n (x_i \, – \, y_i)^2 = \sum_{i=1}^n [2 x_i \, – \, (n+1)]^2 $

となります。

　ここで、$x_i$は並び替えると$1 \, , \, \cdots \, , \, n$となることから、和の公式から

　　$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

　　$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

　　$\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 = 1 + 1 + \cdots + 1 = n$

という式を使うと、

　　$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_i^2 = \dfrac{n(n^2 \, – \, 1)}{3}$

なので、$(*)$式に代入すると、

　　$\rho = 1 \, – \, \dfrac{\displaystyle 6 n(n^2 \, – \, 1)/3}{n(n^2 \, – \, 1)} = -1$

となり、-1となります。

スピアマンの順位相関係数の特徴

　通常の（ピアソンの）相関係数と比べて、スピアマンの順位相関係数は次のような特徴があります。

　1つは、外れ値や異常値の影響を受けにくいという点があります。
　通常の相関係数では、外れ値があると、その値の影響を受けますが、スピアマンの順位相関係数では、あくまでも順位なので、外れ値は存在しないことになります。

　2つは、通常の相関係数は、非線形なときには、当てはまり悪くなりますが、スピアマンの順位相関係数では、順位を扱っているので、そのような問題は生じません。

　例えば、次のようなデータがあったとき（$y=x^5$）、正の相関があることは間違いないのですが、相関係数は、0.87となってしまいます（$x$のベキ乗を大きくすると、より相関係数が下がります）。
　しかし、スピアマンの順位相関係数ではこのような問題は生じません。

　3つは、どのようなデータも順位をとることができるので、スピアマンの順位相関係数を使うことはできるでしょうが、順位するので、逆に、情報量が少なくなってしまうという問題があります。
　逆に言えば、情報量が少ないからこそ、外れ値や異常値を避けることができるとも言えます。

参考

　　中村隆英『統計入門』

　　加納悟・浅子和美・竹内明香『入門 経済のための統計学』