定義
算術平均・幾何平均・調和平均それぞれについて、次のように定義されます。
算術平均
$\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{n} = \dfrac{x_1 + x_2 + \quad \cdots \quad + x_n}{n}$
幾何平均
$\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i^{1/n} = \left( x_1 \cdot x_2 \cdot \, \cdots \, \cdot x_n \right)^{1/n}$
調和平均
$\displaystyle \left( \displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \middle/ n \right)^{-1} = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \quad \cdots \quad + \frac{1}{x_n}}$
不等式
算術平均・幾何平均・調和平均においては、次のような不等式が成立します。
調和平均 ≦ 幾何平均 ≦ 算術平均
すなわち、数式で表すと、次のようになります。
$\dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \quad \cdots \quad + \frac{1}{x_n}} \leq \left( x_1 \cdot x_2 \cdot \, \cdots \, \cdot x_n \right)^{1/n} \leq \dfrac{x_1 + x_2 + \quad \cdots \quad + x_n}{n}$