クラスター分析における距離（非類似度）のまとめ

はじめに

　多変量解析のクラスター分析において、クラスターを作るにあたり、データ間の非類似度を知る必要があります。
　非類似度が大きいほど、違うクラスターに属し、非類似度が小さいほど、同じクラスターと考えられるからです。

　ただ、この非類似度をどのように計算するかで、クラスター分析の結果も当然ながら、変わってきます。

　そこでここでは、クラスター分析における距離（非類似度）の指標をまとめています。

　個体が$N$、変量が$K$あるとして、それぞれのデータを$x_{ki} (k = 1 \, , \, \cdots K \quad , \quad i=1 \, , \, \cdots N)$とします。

　そして、個体$i$と$j$の非類似度（距離）を$D_{ij}$とします。

　スタンダードなものとして、ユークリッド平方距離があります。

　　$\displaystyle D_{ij} = \sum_{k=1}^K (x_{ki} \; – \; x_{kj})^2$

　なお、同様なものですが、次のようなユークリッド距離にあります。

　　$\displaystyle D_{ij} = \sqrt{\sum_{k=1}^K (x_{ki} \; – \; x_{kj})^2}$

　変量$k$の分散を$\sigma_k$としたとき、標準化ユークリッド距離は次のように定義されます。

　　$\displaystyle D_{ij} = \sum_{k=1}^K (x_{ki} \; – \; x_{kj})^2 / \sigma_k$

　ユークリッド平方距離に対して、分散で基準化している形になります。

　なお、$1 / \sigma_k$はある種の重みであり、ユークリッド平方距離に重みをつけたものであることから、重みつきユークリッド平方距離と言われたりもします。

　個体$i$のデータベクトルを$\boldsymbol{x}_i =(x_{1i} \, , \cdots x_{Ki})’$とし、分散共分散行列を$\Sigma$とすると、マハラノビスの距離は、次のように定義されます。

　　$\displaystyle D_{ij} = (\boldsymbol{x}_i \; – \; \boldsymbol{x}_j)’ \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x}_i \; – \; \boldsymbol{x}_j)$

　なお、$(\boldsymbol{x}_i \; – \; \boldsymbol{x}_j)’$は$(\boldsymbol{x}_i \; – \; \boldsymbol{x}_j)$の転置行列、$\Sigma^{-1}$は$\Sigma$の逆行列です。

　ユークリッド距離をより一般化したものとして、ミンコフスキー距離があります。

　　$\displaystyle D_{ij} = \left( \sum_{k=1}^K |x_{ki} \; – \; x_{kj}|^m \right)^{1/m}$

　この式から分かるように、$m=2$のときは、ユークリッド平方距離になります。

　　田中豊・脇本和昌『多変量統計解析法』