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需要関数と補償需要関数の違い(具体例)

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投稿ミクロ経済学初級
ミクロ経済学における需要関数と補償需要関数について、効用関数を特定化して、どのように違うかを説明します。
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はじめに

 ミクロ経済学の消費者行動において、需要関数と補償需要関数の2つの需要関数が登場します。
 どちらも需要関数で、言葉も似ていますが、「補償需要関数」には「補償」という言葉がついている通り、違う需要関数です。

 結論から言えば、それぞれの需要関数の違いは、次の通りです。

  需要関数 … 効用最大化問題から得られた需要

  補償需要関数 … 費用最小化問題から得られた需要

   需要関数と補償需要関数の違いについて

 ところで、具体的にどう違うのかは、イメージがつきにくい感じがあります。
 そこで、効用関数を特定化して、どこがどのように違うのかを説明したいと思います。

需要関数と補償需要関数

 2財$x \, , \, y$について、それぞれの価格を$p_x \, , \, p_y$とします。
 そして、違いを見るために、効用関数が$\sqrt{x \, y}$、所得が$E$であるときに、それぞれの需要関数を求めていきましょう。

需要関数

 まずは、需要関数を求めていきますが、このときの消費者の効用最大化問題は、次のようになります。

  $\displaystyle \max_{x \, , \, y} \sqrt{x \, y}$

  $s.t. \quad p_x x + p_y y = E$

 この式を解くために、ラグランジュ関数$L$を定義すると、

  $L = \sqrt{x \, y} \, – \, \lambda(p_x x + p_y y \, – \, E)$

であり、一階条件を求めると、次を得ることができます。

  $\dfrac{y}{x} = \dfrac{p_x}{p_y}$

 これを予算制約式に代入し、整理すると、2財の需要関数を得ることができます。

  $x = \dfrac{E}{2 p_x}$

  $y = \dfrac{E}{2 p_y}$

補償需要関数

 次に補償需要関数を求めて生きたいと思いますが、需要関数との違いは、一定の効用$\bar{u}$のもと、予算制約式を最小化することになります。

  $\displaystyle \min_{x \, , \, y} \quad p_x x + p_y y$

  $s.t. \quad \sqrt{x \, y} = \bar{u}$

 この式を解くために、ラグランジュ関数$L$を定義すると、

  $L = p_x x + p_y y \, – \, \lambda(\sqrt{x \, y} \, – \, \bar{u})$

であり、一階条件を求めると、次を得ることができます。

  $\dfrac{y}{x} = \dfrac{p_x}{p_y}$

 この一階条件自体は、上記の効用最大化問題をした場合と同じになっています。

 ただ、補償需要関数を求めるための費用最小化問題においては、一定の効用という制約式に代入することになり、2財の補償需要関数は、次のようになります。

  $x = \sqrt{\dfrac{p_y}{p_x}}\bar{u}$

  $y = \sqrt{\dfrac{p_x}{p_y}}\bar{u}$

違い

 以上をまとめると、次のようになります。

  需要関数:$x = \dfrac{E}{2 p_x}$ 、 $y = \dfrac{E}{2 p_y}$

  補償需要関数:$x = \sqrt{\dfrac{p_y}{p_x}}\bar{u}$ 、 $y = \sqrt{\dfrac{p_x}{p_y}}\bar{u}$

 これらを見て分かるように、需要関数では$E$が、補償需要関数では$\bar{u}$が入っています。また、式の形状も、需要関数では$2$という数値が入っていたり、補償需要関数ではルートになっていたりと、相違点があります。

 ということで、やはり需要関数と補償需要関数は、名称は似ていますが、違うものであることが分かります。

一般型

 なお、上記では効用関数を$\sqrt{x \, y}$と特定化ししましたが、一般型では、次のようになります。

  需要関数:$x =D(p_x \, , \, p_y \, , \, E)$、$y =D(p_x \, , \, p_y \, , \, E)$

  補償需要関数:$x =D(p_x \, , \, p_y \, , \, \bar{u})$、$y =D(p_x \, , \, p_y \, , \, \bar{u})$

どちらを使えばいいのか?

 ところで、違いがあることは分かりましたが、どちらの需要関数を使ったらいいのでしょうか。

 実証的に考えたときには、需要関数のほうが使いやすいことが分かるでしょう。
 補償需要関数では$\bar{u}$というものが入っていますが、数値で図ることができず、統計データを得ることもできませんので、そのまま補償需要関数を求めることができません。
 他方、需要関数では$E$が入っていますが、所得なので、統計データを得たりすることもできるので、実証的には需要関数の方が、推計をしやすいことになります。

 ただ、政策の効果や変化などを見るときには、補償需要関数を用いられることもあります。
 例えば、2時点のデータがあったとき、効用は一定のままなので、2時点のデータの差をとれば、$bar{u}$はキャンセルされるので、実証でも推計することができます。
 このように、補償需要関数では、そのままでは使うことはできませんが、$bar{u}$をキャンセルできれば、実証でも利用ができます。

 以上のように、違いはあります、目的によって、それぞれの需要関数を使い分けることになります。

参考

  奥野正寛(編著)『ミクロ経済学

  武隈愼一『ミクロ経済学

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