はじめに
ミクロ経済学の消費者行動について、需要関数が導出されますが、この需要関数は、0次同次性と言われたりします。
0次同次性とは、消費者が$x$財と$y$財を消費しており、所得を$E$、それぞれの価格を$p_x \, , \, p_y$とすると、需要関数$d$において、次が成立しているということです。
$d(p_x \, , \, p_y \, , \, E) = d(t p_x \, , \, t p_y \, , \, t E)$
これの意味するところは、財それぞれの価格と所得が$t$倍になっても、需要量は変わらないということを意味しています。
直観的には、価格が上がっても、同じだけ所得も上がれば、需要量は影響を受けないということです、
この需要関数の0次同次性について、なぜそうなるのか、数式で考えていきましょう。
需要関数
0次同次性を考える前に、需要関数を導出しましょう。
効用関数$u(x \, , \, y)$をコブ=ダグラス型とすると、消費者は、次のような問題を解くことになります。
$\displaystyle \max_{x , y} x^\alpha y^\beta$
$s.t. \quad p_x x + p_y y =E \quad \cdots \quad (1)$
この問題について、1階条件を求めると、
$\dfrac{\alpha}{\beta} \dfrac{y}{x} = \dfrac{p_x}{p_y}$
であり、
$x = \dfrac{E}{p_x} \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \quad \cdots \quad (2)$
$y = \dfrac{E}{p_y} \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \quad \cdots \quad (3)$
という需要関数を得ることができます。
0次同次性
需要関数$(2)$式・$(3)$式について、価格と所得について、$t$倍してみます。
$x = \dfrac{t E}{t p_x} \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} = \dfrac{E}{p_x} \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}$
$y = \dfrac{t E}{t p_y} \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} = \dfrac{E}{p_y} \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}$
このことから、$t$倍しても、需要量は変わらないことが分かり、需要関数は0次同次性を有しています。
最後に
このように、需要関数は0次同次性を有しているわけですが、$(1)$式の予算制約式を考えましょう。
この式において、$t$倍すると、
$t p_x x + t p_y y = t E$
から、$t$はキャンセルされるので、
$p_x x + p_y y = E$
という元々の予算制約式になります。
このことから、価格・所得を$t$倍しても、消費者にとっては、同じ問題を解くことになり、需要関数を考えなくても、ある意味、当然の結論だとも言えます。
参考
奥野正寛（編著）『ミクロ経済学』
武隈愼一『ミクロ経済学』