反復支配戦略均衡について

はじめに

　ゲーム理論において、支配戦略というものがあります。　
　支配戦略とは、他のプレイヤーがいかなる戦略をとろうとも、自身の戦略は1つになるというものです。言い方を変えれば、他のプレイヤーがとった戦略について、どのような戦略に対しても、自身の1つの戦略のほうが利得が高く、その戦略を選ぶというものになります。

　　　ゲーム理論における支配戦略について

　この支配戦略という概念には、非常に便利な概念です。
　なぜなら、あるプレイヤーに、いくつもの戦略があったとしても、支配戦略が存在すれば、そのプレイヤーの戦略は1つになるからです。平易な言い方ですれば、「一択」になるということです。

　しかし、支配戦略が存在しない場合も多く、このようなときに使える可能性があるものとして、「反復支配戦略均衡」です。

反復支配戦略均衡

　反復支配戦略均衡とは、他のプレイヤーがどのような戦略であっても、利得が大きくならない戦略を削除していって、最終的に支配戦略が残り、均衡が実現されるというものです。

　イメージがつきにくいと思うので、例で説明しましょう。

数値例

　プレイヤー1と2の2人があり、プレイヤー1はAとB、プレイヤー2はX・Y・Zの戦略をとります。
　プレイヤー1の利得を左側の数値、プレイヤー2の利得を右側の数値としたとき、次のような利得マトリックスになっているとします。

（支配戦略の確認①）
　まずは、このゲームについて、支配戦略が存在するかを考えましょう。
　プレイヤー1にとっては、プレイヤー2の戦略がXとYのときには戦略Aを、プレイヤー2の戦略がZのときには戦略Bを選ぶことになります。

　　プレイヤー2の戦略がXやYのとき　⇒　プレイヤー1：戦略Aの利得1 > 戦略Bの利得0
　　プレイヤー2の戦略がZのとき　⇒　プレイヤー1：戦略Bの利得5 > 戦略Aの利得0

　次に、プレイヤー2にとっては、プレイヤー1が戦略Aのときには戦略Yを、プレイヤー1が戦略Bのときには戦略Xを選びます。

　　プレイヤー1の戦略がAのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Yの利得3 > 戦略Zの利得1 > 戦略Xの利得0
　　プレイヤー2の戦略がBのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Xの利得4 > 戦略Yの利得1 > 戦略Zの利得0

　これらのことから、このままでは支配戦略は存在しないことになります。

（戦略の逐次消去）
　ところでもう一度、プレイヤー2の戦略を確認しましょう。
　プレイヤー1が戦略A・Bいずれの場合でも、戦略Zは、プレイヤー2には最大の利得をもたらすことがありません。

　　プレイヤー1の戦略がAのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Yの利得3 > 戦略Zの利得1 > 戦略Xの利得0
　　プレイヤー2の戦略がBのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Xの利得4 > 戦略Yの利得1 > 戦略Zの利得0

　なので、この戦略Zを消去します。このとき、利得マトリックスは次のようになります。

（支配戦略の確認②）
　逐次消去されたこの利得マトリックスに基づいて、もう一度、支配戦略を確認しましょう。

　プレイヤー1にとっては、プレイヤー2の戦略がXとYのときには戦略Aを選びます。

　　プレイヤー2の戦略がXのとき　⇒　プレイヤー1：戦略Aの利得1 > 戦略Bの利得0
　　プレイヤー2の戦略がYのとき　⇒　プレイヤー1：戦略Aの利得1 > 戦略Bの利得0

　次に、プレイヤー2にとっては、プレイヤー1が戦略Aのときには戦略Yを、プレイヤー1が戦略Bのときには戦略Xを選びます。

　　プレイヤー1の戦略がAのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Yの利得3 > 戦略Xの利得0
　　プレイヤー2の戦略がBのとき　⇒　プレイヤー2：戦略Xの利得4 > 戦略Zの利得0

　これらのことから、プレイヤー2は相変わらず支配戦略が存在しないままですが、プレイヤー1は戦略Aが支配戦略になり、支配戦略が存在することになります。

（反復支配戦略均衡）
　戦略Zを逐次消去したことで、プレイヤー1は戦略Aが支配戦略になりました。
　このことから、プレイヤー2はより利得の高い戦略Yを選択することになり、均衡を得ることができます。
　この均衡を反復支配戦略均衡といい、次のようになります。

　　プレイヤー1　⇒　戦略Aで利得1
　　プレイヤー2　⇒　戦略Yで利得3