等差数列の和の公式
等差数列の和の公式として、次のようなものがあります。
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
簡単な式ですが、どうして$1$から$n$までを足すと、なぜ、$n(n+1)/2$となるのかについて、説明します。
導出方法
まずは、数列の和を次のように定義します。
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$
ところで、この式は$n$から考えると、
$S = n + (n \, – \, 1) + (n \, – \, 2) + \cdots + 1$
とも表せます。
そこで、この2式を足すと、
$2S = (1 + n) + [2 + (n \, – \, 1)] + [3 + (n \, – \, 2)] + \cdots + (1 + n)$
$= (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) \cdots + (1 + n)$
となります。ここで、$(n+1)$は$n$個あるので、
$2S = n(n+1)$
であり、
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
という式を導出することができます。