時系列分析における定常性について

定常性

　時系列分析において、確率変数の集合

　　$\{ y_t \} = \{ \cdots \, , \, y_{-1} \, , \, y_0 \, , \, y_1 \, , \, \cdots \}$

を考えるとします。

　このとき、この確率過程が次の性質を持つとき、「定常的」（厳密には弱定常的）と言われます。

　　（１）$E(y_t) = \mu < \infty$

　　（２）$V(y_t) = \gamma(0) < \infty$

　　（３）$Cov(y_t \, , \, y_{t – s}) = \gamma(s) \quad (s > 0)$

　性質の（１）（２）は、この確率過程の平均と分散は、すべての$y_t$で一定で共通であることを意味しています。言い換えれば、平均と分散は$t$に依存しないことを表しています。

　性質の（３）は、自己共分散は、時点の差である$s$にのみ依存していることを意味しています。

　定常的確率過程の例として、最も簡単なものとして、ホワイトノイズがあります。
　ホワイトノイズを$u_t$とすると、ホワイトノイズは次の3つの性質を満たしています。

　　（１）$E(u_t) = 0$

　　（２）$V(u_t) = \sigma^2$

　　（３）$Cov(u_t \, , \, u_s) = 0 \quad (t \neq s)$

　時系列データを扱う際に、例えば工学的なデータならば、任意の$t$期において、いくつものデータを用意することができます。
　例えば、$x$というデータについて、次のように$a \, b \, c$という3種類のデータを用意することができるでしょう。

　　$x_0^a \, , \, x_1^a \, , \, x_2^a \, , \, \cdots$

　　$x_0^b \, , \, x_1^b \, , \, x_2^b \, , \, \cdots$

　　$x_0^c \, , \, x_1^c \, , \, x_2^c \, , \, \cdots$

　ところが経済学においては、GDPやインフレ率などを分析することになるので、いくつものデータを用意することは難しいのが現実です。

　なので、GDPならばGDPで1つの確率過程に従っていると考える必要があります。
　ただ、そのデータについては、何らかの特徴を備えている必要があり、定常性の仮定を加えて、分析する必要性が出てきます。

　逆に言えば、$y_{t-1} \, , y_t \, , \, y_{t+1}$などで、それぞれが違う母数・特徴を有しているとすれば、データの共通性は乏しく、分析の使用がありません。

　ですので、定常性の仮定が必要となるわけです。